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3.8 Plastizität 75 verletzen. Die makroskopische Form des deformierten Körpers spielt dann eine Rolle, bei- spielsweise für dasFließverhalten. Da FEM-Modelle von dynamischen Problemen immer noch sehr rechenintensiv sind, wurden seit etwa 20 Jahren auch wieder verstärkt analytische Näherungslösungen für das elasto-plastischeNormalkontaktproblemgesucht–meistmitBezugaufdas jeweiligeStoß- problem und daher fokussiert auf den Zusammenhang zwischen Normalkraft und Ein- drucktiefe. Vu-Quoc et al. [115] schlugen ein einfaches Modell vor, das sie mithilfe von FEM-Rechnungen validierten, beziehungsweise anpassten. Leider enthält dieses Modell zwei empirische Parameter, die nicht a priori bekannt sind und für jedes Kontaktproblem separat ausFEM-ModellenoderExperimentenbestimmtwerdenmüssen.Einanalytisches Modell ohne zusätzliche fit-Parameter stammt von Thornton [116]. Ein weiterer analyti- scher Ansatz, der von Zhao et al. [117] und Brake [118] verfolgt wurde, besteht in der Interpolation im elasto-plastischen Bereich zwischen den analytischen Lösungen für den elastischen und voll-plastischen Bereich. Da beide Modelle, der Ansatz von Thornton und die elasto-plastische Interpolation, im weiteren Verlauf dieses Buches zur Behandlung des elasto-plastischen Normalstoßes herangezogen werden, sind sie im Folgenden detaillier- ter ausgeführt. Eine weitere Möglichkeit der analytischen Behandlung und daher ebenfalls dargestellt sind außerdemanalytischeApproximationenvon rigorosen FEM-Lösungen. DasModellvonThornton DasMaximumderVergleichsspannungnachvon-Mises imHertzschenKontakt liegtunter- halb der Oberfläche; dieses Maximum kann man mit der Lösung von Huber [119] für die SpannungenimInnerendesHalbraumsbestimmen.Johnson[11,S.155]gabfürdenHertz- schen Normalkontakt an, dass lokales Fließen (sowohl nach dem Kriterium von Tresca als auchdemnachvon-Mises) imInnerenbei einemDruck pmax =1,6σ f , (3.265) mit der Fließgrenze σ f in einem einachsigen Zugversuch18, beginnt. Die entsprechenden kritischenWertederAnpresskraft, desKontaktradiusund der Indentierungstiefe sind FY := 4 3 ( 4π 5 )3(σ f E˜ )3 E˜R˜2, aY := 4π 5 σ f E˜ R˜, dY := ( 4π 5 )2(σ f E˜ )2 R˜. (3.266) Die Idee von Thornton besteht nun darin, von der elastischen Druckverteilung auszugehen und diese bei dem kritischen Wert pY := 1,6 σ f „abzuschneiden“. Für den Hertzschen Kontakt ergibt sich für die Druckverteilung im elasto-plastischen Bereich beispielsweise der Zusammenhang 18WennbeideKörperdeformierbarsind,bezeichnetσ f dieFließgrenzedeswenigerfestenMediums. Das gleiche gilt fürdie Härteσ0.