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76 3 KontaktmechanischeGrundlagen σzz(r)=−2E˜ πR˜ ⎧⎨ ⎩ √ a2−r2, ap < r ≤a,√ a2−a2p, r ≤ap, (3.267) mit pY = 2E˜aY πR˜ = 2E˜ πR˜ √ a2−a2p, (3.268) der inAbb.3.14 schematischgezeigt ist. Ausder letztenGl.(3.268) folgt, dass a2 =a2Y +a2p. (3.269) Die gesamte Normalkraft wird durch Integration der Druckverteilung bestimmt und mit Gl.(3.269) erhältman Fz =2π a∫ 0 σzz(r)r dr =−8π 15 σ f ( 3a2−a2Y ) . (3.270) Wennmanaußerdemannimmt,dassderZusammenhangzwischenKontaktradiusundEin- drucktiefe (zumindest fürnichtzustarkeplastischeDeformation)weiterhindurchdieelas- tische Lösung a2 = dR˜ gegeben ist, lautet der Zusammenhang zwischen Normalkraft und Eindrucktiefe imelasto-plastischenBereich Fz(d)=−8π 15 σ f R˜(3d−dY). (3.271) Diese (bemerkenswerterweise lineare)GleichungbeschreibtdieTangenteandieelastische HertzscheLösungamEndedeselastischenBereichs. DieEntlastung(nachErreichendermaximalenEindrucktiefedmax)desKontaktes istein weitgehendelastischerProzess.Thorntonnahmdaheran,dassderZusammenhangzwischen Normalkraft und Eindrucktiefe inder EntlastungsphasedurchdieelastischeLösung Abb.3.14 Druckverteilung für den elastisch-ideal-plastischen Hertzschen Kontakt nach dem Modellvon Thornton.Die dünnen Linien beschreiben elastische Druckverteilungen nach Hertz r p r( ) aa a p p Y Y