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3.8 Plastizität 79 Felz FY =− ( d dY )3/2 , d ≤dY, (3.279) schreiben.Fürdenvoll-plastischenBereichkannmanuntereinigenvereinfachendenAnnah- men ebenfalls eine analytische Lösung konstruieren. Zunächst ist die Druckverteilung im voll-plastischen Kontakt, wie Experimente und FEM-Simulationen zeigen, in sehr guter Näherungkonstant.Die gesamteNormalkraft ist dahereinfach Fplz =−πσ0a2, (3.280) mit der Härte σ0. Der Zusammenhang zwischen Kontaktradius und Eindrucktiefe ist im voll-plastischen Bereich, wenn die Profile der Kugeln immer noch durch die parabolische Näherungbeschreibbar sind, a = √ 2R˜d+C. (3.281) DieKonstanteC hängtvondemgenauenFließverhaltenabundkannnurschwertheoretisch bestimmtwerden.Nimmtmanan,dassamRanddesKontaktesdurchdieplastischeDefor- mationMaterialwederaufgehäuftnochentferntwird,istderWertvonC Null.Innormierten Größen lautet die Beziehung zwischen Normalkraft und Eindrucktiefe in diesem Fall wie folgt: Fplz FY =−15σ0 8σ f d dY :=−Q d dY , d > Ddy. (3.282) Für metallische Werkstoffe entspricht die Härte ungefähr dem Dreifachen der Fließgrenze, die Konstante Q hat also in etwa den Wert Q ≈ 5. In mehreren Publikationen19 wurde allerdings darauf hingewiesen, dass die Härte mit dem Verhältnis a/R˜ fällt, beispielsweise nachdemZusammenhang[121] σ0 σY =2,84−0,92 [ 1−cos ( πa R˜ )] . (3.283) Die „Konstante“ Q ist also selbst schwach von der Eindrucktiefe abhängig. Da es sich bei dem Interpolationsmodell aber generell um ein recht grobes Verfahren handelt, soll diese Abhängigkeit im Rahmen der Präzision des Modells vernachlässigt werden. Der Wert der Konstante D fürdenGültigkeitsbereichdervoll-plastischenLösungistebenfallsnurschwer theoretischbegründbar; Johnson [11, S.180] gab aufgrundexperimentellerErgebnisse den ungefährenWert D ≈80 an. Fürdenelasto-plastischenBereichkannmannuneineanalytischeNäherungslösungfin- den, indemzwischenderelastischenunddervoll-plastischenLösungstetigdifferenzierbar interpoliert wird. Obwohl dieses Verfahren im elasto-plastischen Bereich keine konkrete 19siehedie Übersichtvon Ghaednia et al. [103]