Page - 134 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

134 5 QuasistatischerNormalstoßaxialsymmetrischerKörper Im Folgenden wird für diesesMaterialmodell wiederum das Normalstoßproblemmit einemstarrenRückprallkörperderMassem˜undderAnfangsgeschwindigkeitv0betrachtet, wobei alsRückprallkörper ein zylindrischerFlachstempel und eineKugel in der paraboli- schenProfilnäherungVerwendungfinden. Flachstempel-Kontakt DaderKontaktmiteinemstarrenzylindrischenStempelmitdemRadiusavollständiglinear ist, kann er durch ein einzelnes lineares rheologischesElement abgebildetwerden.Das in Abb.5.10gezeigteModellistdahereinexaktesAbbilddeszuuntersuchendenStoßproblems. DieBewegungsgleichungen fürdiebeidenFreiheitsgraded und d˜ sind 0= m˜d¨+8G∞ad+8G1ad, (5.76) 0=G1d˜+η ( ˙˜d− d˙) . (5.77) MitdendimensionslosenGrößen tˆ := √ 8aG∞ m˜ t, dˆ := 1 v0 √ 8aG∞ m˜ d (5.78) kanndies indieGleichungdritterOrdnung 0= d 3dˆ dtˆ3 + 1 βδ d2dˆ dtˆ2 + ( 1+ 1 β ) ddˆ dtˆ + 1 βδ dˆ, β := G∞ G1 , δ :=η √ 8a m˜G∞ , (5.79) mitdenAnfangsbedingungen dˆ(0)=0, ddˆ dtˆ (0)=1, d 2dˆ dtˆ2 (0)=0, (5.80) umgeformtwerden.DerStoßendet, fallsdieNormalkraft verschwindet, dasheißt,wenn d2dˆ dtˆ2 (TˆS)=0, TS >0. (5.81) DiezuGl.(5.79)gehörigevoll-kubischeEigenwertgleichungkannmantheoretischgeschlos- sen analytisch lösen,wieArgatov [17] demonstrierte, allerdings ist das Ergebnis und die Abb.5.10 Rheologisches Modell desNormalstoßeseines starrenzylindrischenStempels aufeinStandardmedium