Page - 137 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

5.4 ViskoelastischerNormalstoßohneAdhäsion 137 Restitutionsphase.ZurLösungdiesesgewöhnlichenaberkompliziertenIntegro-Differential- Gleichungssystemsbietet sicheinMDR-Modell an,dasvonWillert et al. [24]undKusche [30]beschriebenwurde,unddasdieseGleichungenexakt reproduziert. Eswird der ebeneKörpermit demProfil g(x) = x2/R˜ in dieBettung aus unabhängi- gen, linearenrheologischenElementen,diedasRelaxationsverhaltendesStandardmediums reproduzieren, eingedrückt.Die vertikalenVerschiebungen derElemente imKontakt sind durch uz(x, t)=−d(t)+g(x), |x|≤a(t) (5.84) gegeben.WährendderKompressionsphasekommteinElementdabeigeometrisch inKon- takt, d.h.wenn es durch denEindruckkörper ausgelenktwird. ZurBestimmung der Stre- ckenlastqz ausdenVerschiebungensindzweiWegemöglich.Einerseits ist qz(x, t)=4G∞uz(x, t)+4G1 t∫ 0 exp ( t′− t τ ) u˙z(x, t ′)dt′, τ := η G1 . (5.85) WirdderIntegral-AnteilausderRelaxationinäquidistantendiskretenZeitschrittentj = j t ausgewertet, ergibt sichdieSumme qrelaxz,j (x)=4G1 t j∑ i=0 exp ( ti − tj τ ) u˙z,i(x)+O ( t2 ) . (5.86) Durcheineeinfache IndexverschiebungerhältmandanndieRekursionsbeziehung qrelaxz,j+1(x)= exp ( − t τ ) qrelaxz,j (x)+4G1u˙z,j+1(x) t +O ( t2 ) . (5.87) EinezweiteVariantezurBestimmungderStreckenlastbestehtinderAuswertungderGleich- gewichtsbeziehungenderäußerenundinnerenFreiheitsgrade jedesElementsderBettung9, 0= u˜z +τ ( ˙˜uz − u˙z) (5.88) qz =4G∞uz +4G1u˜z. (5.89) WährendderRestitutionsphaseverlässteinElementdenKontakt,wennqz >0.Diegesamte Normalkraft ergibt sich,wie immer inderMDR,als IntegralderStreckenlast. Durch Dimensionsanalysen und numerische Experimente kann man zeigen, dass die StoßzahlnurvondenbeidenParametern 9ZurErläuterungkannwiederumAbb.5.10herangezogenwerden,wobei aufdas rheologischeEle- mentnichtdieganzeNormalkraftwirkt, sondernnurder infinitesimaleAnteilqzdx.