Page - 178 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

178 6 QuasistatischeebeneStößevonKugeln undStrack[24]zurückgeht,undindemdie tangentialeKraftmithilfeeinerdurchdasReib- gesetzbeschränktenlinearenFederbestimmtwird.WährenddiesimelastischenFallaufdie LösungdesFlachstempel-Problemshinausläuft–dessenLösungsich,wiegezeigt,ingroßen Parameterbereichen nichtwesentlich von der des parabolischenProblems unterscheidet – geht im viskoelastischen Fall dadurch eine relevanteQuelle der Energie-Dissipation ver- loren, nämlichder viskoseAnteil derTangentialspannungen.Kontaktmechanisch rigorose LösungendesProblemsgabenKusche [25]undWillert et al. [6]. Im Rahmen der Cattaneo-Mindlin-Näherung kann man das Problem exakt durch die MDR lösen.Wenn das Normalstoßproblem gelöst wurde, bereitet die Untersuchung der Tangentialbewegung innerhalb derMDRkeine größerenSchwierigkeiten.Die tangentiale StreckenlastderviskoelastischenBettung, qx(x, t)= 8 3 (Gux(x, t)+ηu˙x(x, t)), (6.68) mussdasindenGl.(4.28)und(4.29)gegebenelokaleAmontons-Coulomb-Reibgesetzerfül- len.Wenn das entsprechendeElement haften kann, sind dieWerte von dux und u˙x durch die Bewegung des Eindruckkörpers vorgegeben.Wenn das Element gleitet, ist durch das Reibgesetz derWert vonqx bekannt undGl.(6.68) liefert eineBestimmungsgleichung für ux. Durch Integration der Streckenlast ergibt sich die gesamte tangentiale Kraft, mit der die Bewegungsgleichung (6.1) gelöst wird. Die tangentiale Stoßzahl hängt nur von den Parametern χ = 1 3κ , ψ = 2tanα 3μ (6.69) sowie der normalen Stoßzahl z ab. Da keine dieser drei Größen in ihrem Einfluss ver- nachlässigbar (oder trivial) ist und eine übersichtliche kompakteDarstellungder vollstän- digen Lösung x = x(χ,ψ, z) in einer einzelnenAbbildung kaummöglich erscheint, ist imAnhangeineeinfache ImplementierungdesMDR-Modells zurLösungdesStoßpro- blemsinderProgrammiersprachederkommerziellenSoftwareMATLABdesUnternehmens MathWorks® gegeben, dieman zurLösung für eine beliebigeParameterkombination her- anziehenkann5.Abb.6.14zeigt außerdemdieLösungfürdensicherwichtigstenFall einer homogenenKugel (und damit κ = 2/7) als Konturliniendiagramm inAbhängigkeit der verbleibendenEinflussgrößenψ und z. Interessanterweisehängt die tangentialeStoßzahl fürkleineWertevon z außerhalbdesBereichsvollständigenGleitensnursehrschwachvon ψ ab. 5Dies dient darüber hinaus zurVeranschaulichungderTatsache, dass die numerische Implementie- rungderRegelnderMDReineelementar einfacheAufgabedarstellt.