Page - 185 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

7.1 EinflussderRotationderStoßachse 185 fürdieIndentierungstiefed. InGl.(7.6)wurdenaußerdemdieausdenGl.(2.17), (3.14)und (2.28) bekanntenDefinitionender effektivenWerte derMasse, desElastizitätsmoduls und desKrümmungsradius imKontaktverwendet. FührtmandiedimensionsfreienGrößen tˆ := |vz,0| d0 t = t t0 , dˆ := d d0 , (7.8) ein–wobeid0 diemaximaleEindrucktiefe imFall ohnezentrifugalenBeitragbezeichnet, dieGl.(5.8) entnommenwerdenkann–erhältmandienormierteBewegungsgleichung d2dˆ dtˆ2 + 5 4 dˆ3/2+α0=0, α0 := a0 d0 v2z,0 (7.9) mitdenAnfangsbedingungen ddˆ dtˆ ( tˆ =0)=1, dˆ(tˆ =0)=0. (7.10) Integrationüberdie (normierte)Eindrucktiefe liefert dieEnergiebilanz ( ddˆ dtˆ )2 =1− dˆ5/2−2α0dˆ. (7.11) DiemaximaleEindrucktiefeergibt sichdaheralsLösungderGleichung 0=1− dˆ5/2max−2α0dˆmax. (7.12) Im Gegensatz zum idealen Hertzschen Stoßproblem (mit α0 = 0) ist Gl.(7.11) nicht geschlossen analytisch lösbar. Eine numerischeLösung ist für verschiedeneWerte vonα0 in Abb.7.1 gezeigt. Offenbar werden durch den Einfluss der Zentrifugalkraft die maxi- male Eindrucktiefe und die Stoßdauer kleiner. Die Form der Lösung – und insbesondere dieSymmetriezwischenKompressions-undRestitutionsphase–bleibenaberunverändert. AußerdemistdieStoßzahl ausdiesemGrundweiterhinEins. In der Regelwird die normierte zentrifugaleBeschleunigungα0 klein sein. In diesem FallkönnenfürdieGl.(7.11)und (7.12)asymptotischeNäherungslösungen ingeschlossen analytischerFormgefundenwerden.DieasymptotischeLösungvonGl.(7.12) ist dˆmax=1− 4 5 α0+O ( α20 ) . (7.13) DieLösungderBewegungsgleichungkannman inderReihe dˆ ( tˆ )= ∞∑ i=0 δi ( tˆ ) αi0 (7.14)