Page - 192 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

192 7 RäumlicheEffekte inelastischenStößenvonKugeln AußerdemgiltnatürlichdieausderLösungdesNormalstoßproblemsbekannte(undbereits fürdasebeneProblemverwendete)Beziehung dξ dtˆ = 5 2 ξ3/5(1−ξ)1/2 . (7.39) Gl.(7.37)kann leider, trotzder insAugespringendenÄhnlichkeit,nichtanalogzuGl.(6.5) fürdieTangentialbewegungdesKontaktpunktesimebenenStoßohneGleitengelöstwerden. Allerdingsmussχt –diesistdasAnalogonfürdasTorsionsproblemzudemausdemebenen ProblembekanntenParameterχ – imRahmenderHalbraumnäherungoffensichtlichklein sein.Es ist dahervorteilhaft, dieLösung ineinerPotenzreihe ωˆz ( tˆ )= ∞∑ i=0 χit ωˆ (i) z ( tˆ ) (7.40) zuentwickeln.DasnullteGlied ist dabeioffensichtlich ωˆ(0)z ( tˆ )≡ ωˆz,0. (7.41) FürdasersteStörgliederhältmandeswegendasAnfangswertproblem d2ωˆ(1)z dtˆ2 + 5 2 χt ξ 3/5ωˆz,0=0, ωˆ(1)z ( tˆ =0)=0, dωˆ (1) z dtˆ ( tˆ =0)=0, (7.42) dasmitGl.(7.39)zu ωˆ(1)z ( tˆ )=2ωˆz,0 ( ξ2/5− tˆ ) (7.43) aufgelöstwerdenkann.AmUmkehrpunktderNormalbewegungergibt sichdamit dienor- mierteWinkelgeschwindigkeit–diehöherenStörgliederwerdenvernachlässigt,daχt klein seinmuss– ωˆz,m ≈ ωˆz,0 [ 1−χt ( TˆS −2 )] , (7.44) mitdernormiertenStoßdauer–sieheGl.(5.12)– TˆS := 4 5 B ( 1;2 5 , 1 2 ) . (7.45) Restitutionsphase DasVerhalteninderRestitutionsphasegehorchtdengleichenqualitativenMechanismenwie imFall des ebenenStoßes ohneGleiten.Während derRestitutionsphase gibt es für jeden Zeitpunkt t >TS/2einenZeitpunkt tc(t)= TS−twährendderKompressionsphase,sodass a(t)=a(tc).DieDifferenzderKontaktmomentezwischendiesenbeidenZeitpunktenergibt sichausder indieserZeit erfolgtenStarrkörperrotation.MitGl.(3.131)erhältmandaher