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8.3 GranulareMedien 205 größer ist als dermittlereKugelradius7.Eine sehr guteZusammenfassungder zahlreichen Arbeiten ausden80-erJahren zur kinetischenundkontinuumstheoretischenBeschreibung granularerMateriebietetdiePublikationvonCampbell [40]. Die Grundlage dieser Theorien bildet die Boltzmann-Gleichung für die Einteilchen- Verteilungsfunktion p ( r,v,s, t ) (mit demOrtsvektor r, derGeschwindigkeit v und dem Spin s) eines Partikels des granularen Mediums. Unter der Annahme der Abwesenheit äußererKräftenimmtdieBoltzmann-GleichungdieForm ∂p ∂t +v ·∇p= ( ∂p ∂t ) S (8.1) an.DierechteSeitedieserGleichungbezeichnetdieÄnderungderVerteilungsfunktiondurch Stöße vonTeilchen.DieseÄnderung besteht aus einerVerlustrate durchTeilchen, die im ZugeeinerKollisionausdemZustand ( v,s ) herausgestreutwerden,undeinerGewinnrate durch Teilchenmit demZustand ( v∗,s∗ ) vor derKollision, die nach einerKollision den Zustand ( v,s ) aufweisen. Unter denAnnahmen, dass alle Teilchen denRadius R haben und die Verteilungsfunktionen zweier Teilchen unabhängig voneinander sind, lautet der Stoßoperatordannwie folgt [41,42,S.32]: ( ∂p ( r,v1,s1, t ) ∂t ) S = (2R)2 ∫ ∫ ∫ H(−vz,K)|vz,K| × ( 1 zD p ( r,v∗1,s∗1, t ) p ( r,v∗2,s∗2, t )− p(r,v1,s1, t ) p ( r,v2,s2, t )) dezdv2ds2. (8.2) DieHeaviside-FunktionHsorgtdafür,dassnurZustandspaarebetrachtetwerden,fürdietat- sächlicheineKollisionstattfindet.D istdieJacobi-DeterminantederindenGl.(2.45)–(2.48) gegebenenTransformation,mitderdieGeschwindigkeitenundSpinsnachderKollisionaus denenvordemZusammenstoßbestimmbar sind. Ohne an dieser Stelle genauer auf die Bestimmung von D einzugehen, ist klar, dass D sich imFall konstanter Stoßzahlen elementar durch diese Stoßzahlen ausdrücken lässt. Tatsächlich sinddieStoßzahlen aber,wie in früherenKapitelngesehen, grundsätzlichund nicht-trivialvondenStoßgeschwindigkeitenselbstabhängig,egal,obmanViskoelastizität, Plastizität, Adhäsion, Reibung oder eineKombination dieser Phänomene als grundlegen- den Dissipationsmechanismus bei der Kollision betrachtet. Die Bestimmung der Jacobi- Determinante und damit die ganze analytische Entwicklung einer kinetischen Theorie granularerMedienwird deswegen durch dieGeschwindigkeitsabhängigkeit der Stoßzah- lenmassiverschwert. 7Mansprichtdannvoneinem„GranularenGas“ (sieheweiterunten).