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5.3 ElastischerNormalstoßmitAdhäsion 123 dˆWSc∫ −1/ Fˆzddˆ = bˆWSc∫ 2bˆWSc 2 bˆ2 ( 3bˆ−3bˆWSc ) dbˆ=−17 2 ( bˆWSc )4=−17 ·219 34π8 5≈−11,6 5. (5.44) Fall2:StoßbeginntmitdirektemKontakt, endetohne ihn Falls der Stoßmit direktemKontakt beginnt, aber ohne ihn endet, zerfällt das Integral in zweiTeile, dˆWSc∫ −1/ Fˆzddˆ = dˆa0∫ −1/ Fˆzddˆ+ dˆWSc∫ dˆa0 Fˆzddˆ, (5.45) mitderEindrucktiefe dˆa0 ausGl.(3.85),beiderderdirekteKontaktendet.DenBeitragohne direktenKontaktkannmanwiederumanalytischbestimmen: dˆWSc∫ dˆa0 Fˆzddˆ =−2 19 5 34π8 ( 3K4−4K3+1), K :=1−π 2 + √( 1−π 2 )2+ 3π4 29 3 . (5.46) DenBeitragausderPhasemitdirektemKontaktmussmannumerischermitteln.Dazuwird mithilfe derGl.(3.76) bis (3.78) dieNormalkraft als FunktionderEindrucktiefe bestimmt undanschließendnumerisch integriert. Fall3:StoßbeginntundendetmitdirektemKontakt Für denFall großerWerte desTabor-Parametersmussman das gesamte Integral auf dem obenbeschriebenenWegnumerischbestimmen. ÜberschätzungdesHystere-VerlustesdurchdieJKR-Theorie DersobestimmteadhäsiveEnergieverlusthängt,normiert aufdenWert imJKR-Grenzfall, nurvondemTabor-Parameterabundist inAbb.5.2dargestellt.OffensichtlichistderVerlust für einenendlichenWertdesTabor-Parameters immerkleiner als imJKR-Grenzfall.Auch für = 4, dies entspricht einem „ursprünglichen“ Tabor-Parameter von λT ≈ 5, was im Allgemeinen bereits als ausreichend gute Näherung des JKR-Falles betrachtet wird, überschätzt das JKR-Ergebnis denEnergieverlust ummehr als 10%.Ciavarella et al. [12] gaben an, dass bei derVerwendung des Lennard-Jones-Potentials und der dazugehörigen adhäsiven Spannung (3.47) der Hysterese-Verlust bei λT = 5 sogar nur knapp 50%des JKR-Ergebnisses beträgt.Dies liegt daran, dass durch diemit der Entfernung zwar gegen NullkonvergierendeaberniemalsgänzlichverschwindendeadhäsiveSpannungderinstabile Sprung in denKontakt deutlich früher erfolgt, als durch die JKR- oder auch dieMaugis- Theorievorhergesagt [13].