Page - 174 - in Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin - Grundlagen und Anwendungen

174 6 QuasistatischeebeneStößevonKugeln DerStoßselbstistindiesenStarrkörper-ModelleneineUnstetigkeitderBewegung,diedurch KraftstößeoderStoßzahlenbeschriebenwird.Letzteremussmanausreinmakroskopischen Erwägungen (Erhaltungssätze,Kinematik) bestimmen. Für den schiefen StoßmitGleiten gibt es danngenau zwei verschiedeneRegime:Gleiten im (buchstäblichen)Kontaktpunkt oderstationäresAbrollen.ImerstenFall istdieStoßzahldurchGl.(6.58)gegeben,Abrollen ist imStarrkörper-Modell durch dieBedingung x = 0 charakterisiert. Doménech-Carbó [14]definiert denÜbergangzwischenbeidenRegimendurchdieBedingung fsx =0 ⇔ ψtrans=2χ(1+ z). (6.64) Alternativ kannmanmitGl.(6.56) denZeitpunkt bestimmen,wannderKontaktpunkt bei Gleiten die Geschwindigkeit Null erreicht [15]. Danach geht im Starrkörper-Modell der Kontakt in das Regime des stationären reinenAbrollens über und die Tangentialkraft im Kontaktverschwindet. Starrkörper-Modellesindsehreinfachzubenutzen.Allerdings führensiezuWidersprü- chen, wie schon bei der Darstellung der „elementaren“ Lösung des Stoßproblems ohne Gleiten angemerkt wurde, und – abseits des Regimes vollständigen Gleitens – zu deut- lichenAbweichungen bei der bestimmten Stoßzahl vonModellen, die die Elastizität der Kontaktpartnerberücksichtigen,manvergleichebeispielsweisemitAbb.6.7. Vollständig linearerKontakt EineweitereMöglichkeitzurVereinfachungdesProblemsbestehtdarin,denKontaktdurch eine einzelne reibbehaftete lineare Federmit den Steifigkeiten kz und kx zumodellieren (oder,mitanderenWorten,alsFlachstempelkontaktzubetrachten).DasKraftgesetz fürdie Tangentialkraft lautetdann F˙x = kxvx,K, falls |Fx|≤μ|Fz|, (6.65) Fx =μ|Fz|sgn ( vx,K ) , sonst. (6.66) DasentstehendeabschnittsweiselineareBewegungsgleichungssystemkanntheoretischana- lytischgelöstwerden, indemmansorgfältigPhasenvonHaftenundGleitenderFederwäh- renddesKontaktesverfolgt; allerdings ist einenumerischeLösungsicherlichvorzuziehen. Man stellt fest, dass dasProblem indimensionsfreier Formulierung ebenfalls nur vonden Parameternψ undχ abhängt,wobei l = kx/kz. Die Stoßzahl als Funktion dieser beiden Parameter ist inAbb.6.11gezeigt.OffenbarunterscheidetsichdieLösungnur inBereichen von großenχ und kleinenψ (also beiDominanz desHaft-Regimes)merklich von der in Abb.6.8 dargestellten nicht-linearenLösung. Insbesondere ist durch dieHerleitung der in denGl.(6.54) und (6.57) definiertenBereichsgrenzenklar, dass diese auch für das lineare Modell gültig sind. EinausführlicherVergleichdeslinearenundnicht-linearenModells(einschließlicheines semi-rigorosenModells aufGrundlage der Cattaneo-Mindlin-Lösung, d.h. ohneBerück- sichtigung von Gedächtnis-Effekten des Tangentialkontaktproblems) kann bei Thornton et al. [16]nachgeschlagenwerden.